Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 495 / 495
↖ ↑ ↗
← N  5.965753°
W  5.976562°		 ← 38.880 km → N  5.965753°
W  5.625000°		 →
↑
38.892 km
↓
↑
38.892 km
↓
N  5.615986°
W  5.976562°		 ← 38.904 km →
1 512.62 km²		 N  5.615986°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48388671875 y=0.48388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48388671875 × 210)
    floor (0.48388671875 × 1024)
    floor (495.5)     		tx = 495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48388671875 × 210)
    floor (0.48388671875 × 1024)
    floor (495.5)     		ty = 495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 495 / 495 ti = "10/495/495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/495/495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 495 ÷ 210
    495 ÷ 1024     		x = 0.4833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 495 ÷ 210
    495 ÷ 1024     		y = 0.4833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.104310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10431069} λ = -0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.104310693573242))-π/2
    2×atan(1.10994525420648)-π/2
    2×0.837459185357482-π/2
    1.67491837071496-1.57079632675     		φ = 0.10412204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10412204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.965753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 495 KachelY 495 -0.10431069 0.10412204 -5.976562 5.965753
    Oben rechts KachelX + 1 496 KachelY 495 -0.09817477 0.10412204 -5.625000 5.965753
    Unten links KachelX 495 KachelY + 1 496 -0.10431069 0.09801744 -5.976562 5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 496 KachelY + 1 496 -0.09817477 0.09801744 -5.625000 5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10412204-0.09801744) × R
    0.0061046 × 6371000     		dl = 38892.4066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10412204-0.09801744) × R
    0.0061046 × 6371000     		dr = 38892.4066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10431069--0.09817477) × cos(0.10412204) × R
    0.00613592 × 0.994584195954369 × 6371000     		do = 38880.2319989686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10431069--0.09817477) × cos(0.09801744) × R
    0.00613592 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 38904.3102720275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10412204)-sin(0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994584195954369-0.995200135433612)×R²
    abs(-0.09817477--0.10431069)×0.000615939479242766×R²
    0.00613592×0.000615939479242766×6371000²
    0.00613592×0.000615939479242766×40589641000000     		ar = 1512618720.05738m²