Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 495 / 561
↖ ↑ ↗
← S 16.972741°
W  5.976562°		 ← 37.389 km → S 16.972741°
W  5.625000°		 →
↑
37.356 km
↓
↑
37.356 km
↓
S 17.308688°
W  5.976562°		 ← 37.322 km →
1 395.44 km²		 S 17.308688°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48388671875 y=0.54833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48388671875 × 210)
    floor (0.48388671875 × 1024)
    floor (495.5)     		tx = 495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54833984375 × 210)
    floor (0.54833984375 × 1024)
    floor (561.5)     		ty = 561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 495 / 561 ti = "10/495/561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/495/561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 495 ÷ 210
    495 ÷ 1024     		x = 0.4833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 561 ÷ 210
    561 ÷ 1024     		y = 0.5478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10431069} λ = -0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300660234416992))-π/2
    2×atan(0.740329268425005)-π/2
    2×0.637283056457916-π/2
    1.27456611291583-1.57079632675     		φ = -0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 495 KachelY 561 -0.10431069 -0.29623021 -5.976562 -16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 496 KachelY 561 -0.09817477 -0.29623021 -5.625000 -16.972741
    Unten links KachelX 495 KachelY + 1 562 -0.10431069 -0.30209359 -5.976562 -17.308688
    Unten rechts KachelX + 1 496 KachelY + 1 562 -0.09817477 -0.30209359 -5.625000 -17.308688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29623021--0.30209359) × R
    0.00586338000000003 × 6371000     		dl = 37355.5939800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29623021--0.30209359) × R
    0.00586338000000003 × 6371000     		dr = 37355.5939800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10431069--0.09817477) × cos(-0.29623021) × R
    0.00613592 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 37389.2476283393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10431069--0.09817477) × cos(-0.30209359) × R
    0.00613592 × 0.954715697752077 × 6371000     		du = 37321.6948073856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29623021)-sin(-0.30209359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.954715697752077)×R²
    abs(-0.09817477--0.10431069)×0.00172804956808115×R²
    0.00613592×0.00172804956808115×6371000²
    0.00613592×0.00172804956808115×40589641000000     		ar = 1395439813.59328m²