Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 496 / 560
↖ ↑ ↗
← S 16.636192°
W  5.625000°		 ← 37.456 km → S 16.636192°
W  5.273438°		 →
↑
37.423 km
↓
↑
37.423 km
↓
S 16.972741°
W  5.625000°		 ← 37.389 km →
1 400.45 km²		 S 16.972741°
W  5.273438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48486328125 y=0.54736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48486328125 × 210)
    floor (0.48486328125 × 1024)
    floor (496.5)     		tx = 496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54736328125 × 210)
    floor (0.54736328125 × 1024)
    floor (560.5)     		ty = 560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 496 / 560 ti = "10/496/560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/496/560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 496 ÷ 210
    496 ÷ 1024     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 560 ÷ 210
    560 ÷ 1024     		y = 0.546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546875 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294524311265625))-π/2
    2×atan(0.74488583700403)-π/2
    2×0.640220001765692-π/2
    1.28044000353138-1.57079632675     		φ = -0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 496 KachelY 560 -0.09817477 -0.29035632 -5.625000 -16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 497 KachelY 560 -0.09203885 -0.29035632 -5.273438 -16.636192
    Unten links KachelX 496 KachelY + 1 561 -0.09817477 -0.29623021 -5.625000 -16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 497 KachelY + 1 561 -0.09203885 -0.29623021 -5.273438 -16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29035632--0.29623021) × R
    0.00587388999999999 × 6371000     		dl = 37422.55319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29035632--0.29623021) × R
    0.00587388999999999 × 6371000     		dr = 37422.55319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09203885) × cos(-0.29035632) × R
    0.00613591999999999 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 37455.6326672516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09203885) × cos(-0.29623021) × R
    0.00613591999999999 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 37389.2476283392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29035632)-sin(-0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.956443747320158)×R²
    abs(-0.09203885--0.09817477)×0.00169817686663598×R²
    0.00613591999999999×0.00169817686663598×6371000²
    0.00613591999999999×0.00169817686663598×40589641000000     		ar = 1400447283.52026m²