Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49668 / 49668
↖ ↑ ↗
← S 67.617589°
E 92.834473°		 ← 232.58 m → S 67.617589°
E 92.839966°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 67.619681°
E 92.834473°		 ← 232.56 m →
54 097 m²		 S 67.619681°
E 92.839966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757881164550781 y=0.757881164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757881164550781 × 216)
    floor (0.757881164550781 × 65536)
    floor (49668.5)     		tx = 49668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757881164550781 × 216)
    floor (0.757881164550781 × 65536)
    floor (49668.5)     		ty = 49668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49668 / 49668 ti = "16/49668/49668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49668/49668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49668 ÷ 216
    49668 ÷ 65536     		x = 0.75787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49668 ÷ 216
    49668 ÷ 65536     		y = 0.75787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75787353515625 × 2 - 1) × π
    0.5157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62026721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.5157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6202672071579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62026721} λ = 1.62026721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6202672071579))-π/2
    2×atan(0.197845826199002)-π/2
    2×0.195323383423582-π/2
    0.390646766847164-1.57079632675     		φ = -1.18014956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62026721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18014956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.617589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49668 KachelY 49668 1.62026721 -1.18014956 92.834473 -67.617589
    Oben rechts KachelX + 1 49669 KachelY 49668 1.62036308 -1.18014956 92.839966 -67.617589
    Unten links KachelX 49668 KachelY + 1 49669 1.62026721 -1.18018607 92.834473 -67.619681
    Unten rechts KachelX + 1 49669 KachelY + 1 49669 1.62036308 -1.18018607 92.839966 -67.619681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18014956--1.18018607) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dl = 232.60520999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18014956--1.18018607) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dr = 232.60520999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62026721-1.62036308) × cos(-1.18014956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380786536031881 × 6371000     		do = 232.579759188932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62026721-1.62036308) × cos(-1.18018607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380752776332948 × 6371000     		du = 232.559139177705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18014956)-sin(-1.18018607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380786536031881-0.380752776332948)×R²
    abs(1.62036308-1.62026721)×3.37596989337663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37596989337663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37596989337663e-05×40589641000000     		ar = 54096.8655726924m²