Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49728 / 49728
↖ ↑ ↗
← S 67.742759°
E 93.164063°		 ← 231.35 m → S 67.742759°
E 93.169556°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
S 67.744839°
E 93.164063°		 ← 231.32 m →
53 515 m²		 S 67.744839°
E 93.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758796691894531 y=0.758796691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758796691894531 × 216)
    floor (0.758796691894531 × 65536)
    floor (49728.5)     		tx = 49728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758796691894531 × 216)
    floor (0.758796691894531 × 65536)
    floor (49728.5)     		ty = 49728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49728 / 49728 ti = "16/49728/49728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49728/49728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49728 ÷ 216
    49728 ÷ 65536     		x = 0.7587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49728 ÷ 216
    49728 ÷ 65536     		y = 0.7587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62601964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    -0.517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62601964} λ = 1.62601964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6260196351123))-π/2
    2×atan(0.196710999471531)-π/2
    2×0.194231068356987-π/2
    0.388462136713974-1.57079632675     		φ = -1.18233419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62601964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18233419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.742759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49728 KachelY 49728 1.62601964 -1.18233419 93.164063 -67.742759
    Oben rechts KachelX + 1 49729 KachelY 49728 1.62611551 -1.18233419 93.169556 -67.742759
    Unten links KachelX 49728 KachelY + 1 49729 1.62601964 -1.18237050 93.164063 -67.744839
    Unten rechts KachelX + 1 49729 KachelY + 1 49729 1.62611551 -1.18237050 93.169556 -67.744839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18233419--1.18237050) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18233419--1.18237050) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62601964-1.62611551) × cos(-1.18233419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378765582495472 × 6371000     		do = 231.345385485155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62601964-1.62611551) × cos(-1.18237050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378731977607902 × 6371000     		du = 231.324860030815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18233419)-sin(-1.18237050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378765582495472-0.378731977607902)×R²
    abs(1.62611551-1.62601964)×3.36048875702599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36048875702599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36048875702599e-05×40589641000000     		ar = 53514.9876020921m²