Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 498 / 562
↖ ↑ ↗
← S 17.308688°
W  4.921875°		 ← 37.322 km → S 17.308688°
W  4.570312°		 →
↑
37.287 km
↓
↑
37.287 km
↓
S 17.644022°
W  4.921875°		 ← 37.253 km →
1 390.36 km²		 S 17.644022°
W  4.570312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48681640625 y=0.54931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48681640625 × 210)
    floor (0.48681640625 × 1024)
    floor (498.5)     		tx = 498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54931640625 × 210)
    floor (0.54931640625 × 1024)
    floor (562.5)     		ty = 562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 498 / 562 ti = "10/498/562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/498/562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 498 ÷ 210
    498 ÷ 1024     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 562 ÷ 210
    562 ÷ 1024     		y = 0.548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548828125 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306796157568359))-π/2
    2×atan(0.735800572999399)-π/2
    2×0.634351366989536-π/2
    1.26870273397907-1.57079632675     		φ = -0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 498 KachelY 562 -0.08590292 -0.30209359 -4.921875 -17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 499 KachelY 562 -0.07976700 -0.30209359 -4.570312 -17.308688
    Unten links KachelX 498 KachelY + 1 563 -0.08590292 -0.30794628 -4.921875 -17.644022
    Unten rechts KachelX + 1 499 KachelY + 1 563 -0.07976700 -0.30794628 -4.570312 -17.644022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30209359--0.30794628) × R
    0.00585268999999999 × 6371000     		dl = 37287.48799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30209359--0.30794628) × R
    0.00585268999999999 × 6371000     		dr = 37287.48799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.07976700) × cos(-0.30209359) × R
    0.00613591999999999 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 37321.6948073855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.07976700) × cos(-0.30794628) × R
    0.00613591999999999 × 0.952958066108848 × 6371000     		du = 37252.9855655381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30209359)-sin(-0.30794628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.952958066108848)×R²
    abs(-0.07976700--0.08590292)×0.00175763164322884×R²
    0.00613591999999999×0.00175763164322884×6371000²
    0.00613591999999999×0.00175763164322884×40589641000000     		ar = 1390355218.15069m²