Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50175 / 50175
↖ ↑ ↗
← S 68.654556°
E 95.619507°		 ← 222.34 m → S 68.654556°
E 95.625000°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
S 68.656555°
E 95.619507°		 ← 222.32 m →
49 435 m²		 S 68.656555°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765617370605469 y=0.765617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765617370605469 × 216)
    floor (0.765617370605469 × 65536)
    floor (50175.5)     		tx = 50175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765617370605469 × 216)
    floor (0.765617370605469 × 65536)
    floor (50175.5)     		ty = 50175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50175 / 50175 ti = "16/50175/50175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50175/50175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50175 ÷ 216
    50175 ÷ 65536     		x = 0.765609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50175 ÷ 216
    50175 ÷ 65536     		y = 0.765609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765609741210938 × 2 - 1) × π
    0.531219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66887522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.531219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66887522337263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66887522} λ = 1.66887522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66887522337263))-π/2
    2×atan(0.188458920660801)-π/2
    2×0.186274142403275-π/2
    0.372548284806549-1.57079632675     		φ = -1.19824804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66887522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19824804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.654556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50175 KachelY 50175 1.66887522 -1.19824804 95.619507 -68.654556
    Oben rechts KachelX + 1 50176 KachelY 50175 1.66897110 -1.19824804 95.625000 -68.654556
    Unten links KachelX 50175 KachelY + 1 50176 1.66887522 -1.19828294 95.619507 -68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 50176 KachelY + 1 50176 1.66897110 -1.19828294 95.625000 -68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19824804--1.19828294) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19824804--1.19828294) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66887522-1.66897110) × cos(-1.19824804) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363990092734648 × 6371000     		do = 222.343886852151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66887522-1.66897110) × cos(-1.19828294) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 222.324030403946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19824804)-sin(-1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363990092734648-0.363957586554578)×R²
    abs(1.66897110-1.66887522)×3.25061800697801e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25061800697801e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25061800697801e-05×40589641000000     		ar = 49435.4888043833m²