Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50177 / 50177
↖ ↑ ↗
← S 68.658554°
E 95.630493°		 ← 222.28 m → S 68.658554°
E 95.635986°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
S 68.660553°
E 95.630493°		 ← 222.26 m →
49 407 m²		 S 68.660553°
E 95.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765647888183594 y=0.765647888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765647888183594 × 216)
    floor (0.765647888183594 × 65536)
    floor (50177.5)     		tx = 50177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765647888183594 × 216)
    floor (0.765647888183594 × 65536)
    floor (50177.5)     		ty = 50177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50177 / 50177 ti = "16/50177/50177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50177/50177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50177 ÷ 216
    50177 ÷ 65536     		x = 0.765640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50177 ÷ 216
    50177 ÷ 65536     		y = 0.765640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765640258789062 × 2 - 1) × π
    0.531280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66906697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.531280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66906697097112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66906697} λ = 1.66906697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66906697097112))-π/2
    2×atan(0.188422787579678)-π/2
    2×0.186239248406431-π/2
    0.372478496812861-1.57079632675     		φ = -1.19831783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66906697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19831783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.658554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50177 KachelY 50177 1.66906697 -1.19831783 95.630493 -68.658554
    Oben rechts KachelX + 1 50178 KachelY 50177 1.66916284 -1.19831783 95.635986 -68.658554
    Unten links KachelX 50177 KachelY + 1 50178 1.66906697 -1.19835272 95.630493 -68.660553
    Unten rechts KachelX + 1 50178 KachelY + 1 50178 1.66916284 -1.19835272 95.635986 -68.660553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19831783--1.19835272) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19831783--1.19835272) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66906697-1.66916284) × cos(-1.19831783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363925089245486 × 6371000     		do = 222.280993707297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66906697-1.66916284) × cos(-1.19835272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363892591493384 × 6371000     		du = 222.26114447776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19831783)-sin(-1.19835272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363925089245486-0.363892591493384)×R²
    abs(1.66916284-1.66906697)×3.2497752102012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2497752102012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2497752102012e-05×40589641000000     		ar = 49407.3445588559m²