Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50180 / 50180
↖ ↑ ↗
← S 68.664551°
E 95.646973°		 ← 222.24 m → S 68.664551°
E 95.652466°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
S 68.666549°
E 95.646973°		 ← 222.22 m →
49 385 m²		 S 68.666549°
E 95.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765693664550781 y=0.765693664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765693664550781 × 216)
    floor (0.765693664550781 × 65536)
    floor (50180.5)     		tx = 50180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765693664550781 × 216)
    floor (0.765693664550781 × 65536)
    floor (50180.5)     		ty = 50180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50180 / 50180 ti = "16/50180/50180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50180/50180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50180 ÷ 216
    50180 ÷ 65536     		x = 0.76568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50180 ÷ 216
    50180 ÷ 65536     		y = 0.76568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76568603515625 × 2 - 1) × π
    0.5313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66935459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.5313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66935459236884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66935459} λ = 1.66935459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66935459236884))-π/2
    2×atan(0.188368600947143)-π/2
    2×0.186186919094897-π/2
    0.372373838189793-1.57079632675     		φ = -1.19842249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66935459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19842249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.664551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50180 KachelY 50180 1.66935459 -1.19842249 95.646973 -68.664551
    Oben rechts KachelX + 1 50181 KachelY 50180 1.66945047 -1.19842249 95.652466 -68.664551
    Unten links KachelX 50180 KachelY + 1 50181 1.66935459 -1.19845737 95.646973 -68.666549
    Unten rechts KachelX + 1 50181 KachelY + 1 50181 1.66945047 -1.19845737 95.652466 -68.666549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19842249--1.19845737) × R
    3.48800000000704e-05 × 6371000     		dl = 222.220480000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19842249--1.19845737) × R
    3.48800000000704e-05 × 6371000     		dr = 222.220480000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66935459-1.66945047) × cos(-1.19842249) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36382760397497 × 6371000     		do = 222.244630352819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66935459-1.66945047) × cos(-1.19845737) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363795114208991 × 6371000     		du = 222.224783931186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19842249)-sin(-1.19845737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36382760397497-0.363795114208991)×R²
    abs(1.66945047-1.66935459)×3.24897659790269e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24897659790269e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24897659790269e-05×40589641000000     		ar = 49385.1032991611m²