Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50184 / 50184
↖ ↑ ↗
← S 68.672544°
E 95.668945°		 ← 222.14 m → S 68.672544°
E 95.674438°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
S 68.674541°
E 95.668945°		 ← 222.12 m →
49 348 m²		 S 68.674541°
E 95.674438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765754699707031 y=0.765754699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765754699707031 × 216)
    floor (0.765754699707031 × 65536)
    floor (50184.5)     		tx = 50184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765754699707031 × 216)
    floor (0.765754699707031 × 65536)
    floor (50184.5)     		ty = 50184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50184 / 50184 ti = "16/50184/50184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50184/50184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50184 ÷ 216
    50184 ÷ 65536     		x = 0.7657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50184 ÷ 216
    50184 ÷ 65536     		y = 0.7657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7657470703125 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66973809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66973809} λ = 1.66973809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6697380875658))-π/2
    2×atan(0.188296376343201)-π/2
    2×0.1861171684842-π/2
    0.372234336968399-1.57079632675     		φ = -1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66973809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50184 KachelY 50184 1.66973809 -1.19856199 95.668945 -68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 50185 KachelY 50184 1.66983396 -1.19856199 95.674438 -68.672544
    Unten links KachelX 50184 KachelY + 1 50185 1.66973809 -1.19859686 95.668945 -68.674541
    Unten rechts KachelX + 1 50185 KachelY + 1 50185 1.66983396 -1.19859686 95.674438 -68.674541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19856199--1.19859686) × R
    3.48700000001312e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19856199--1.19859686) × R
    3.48700000001312e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66973809-1.66983396) × cos(-1.19856199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 222.142083246749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66973809-1.66983396) × cos(-1.19859686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363665178665379 × 6371000     		du = 222.122243503673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19856199)-sin(-1.19859686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.363665178665379)×R²
    abs(1.66983396-1.66973809)×3.24822205844399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24822205844399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24822205844399e-05×40589641000000     		ar = 49348.1639336824m²