Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 504 / 552
↖ ↑ ↗
← S 13.923404°
W  2.812500°		 ← 37.943 km → S 13.923404°
W  2.460937°		 →
↑
37.915 km
↓
↑
37.915 km
↓
S 14.264383°
W  2.812500°		 ← 37.887 km →
1 437.56 km²		 S 14.264383°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49267578125 y=0.53955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49267578125 × 210)
    floor (0.49267578125 × 1024)
    floor (504.5)     		tx = 504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53955078125 × 210)
    floor (0.53955078125 × 1024)
    floor (552.5)     		ty = 552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 504 / 552 ti = "10/504/552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/504/552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 504 ÷ 210
    504 ÷ 1024     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 552 ÷ 210
    552 ÷ 1024     		y = 0.5390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5390625 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.245436926054688))-π/2
    2×atan(0.78236262893597)-π/2
    2×0.663893542850711-π/2
    1.32778708570142-1.57079632675     		φ = -0.24300924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24300924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.923404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 504 KachelY 552 -0.04908739 -0.24300924 -2.812500 -13.923404
    Oben rechts KachelX + 1 505 KachelY 552 -0.04295146 -0.24300924 -2.460937 -13.923404
    Unten links KachelX 504 KachelY + 1 553 -0.04908739 -0.24896045 -2.812500 -14.264383
    Unten rechts KachelX + 1 505 KachelY + 1 553 -0.04295146 -0.24896045 -2.460937 -14.264383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24300924--0.24896045) × R
    0.00595121000000001 × 6371000     		dl = 37915.1589100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24300924--0.24896045) × R
    0.00595121000000001 × 6371000     		dr = 37915.1589100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04295146) × cos(-0.24300924) × R
    0.00613593 × 0.970618273695534 × 6371000     		do = 37943.4192906071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04295146) × cos(-0.24896045) × R
    0.00613593 × 0.969169086915728 × 6371000     		du = 37886.7676664756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24300924)-sin(-0.24896045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970618273695534-0.969169086915728)×R²
    abs(-0.04295146--0.04908739)×0.00144918677980577×R²
    0.00613593×0.00144918677980577×6371000²
    0.00613593×0.00144918677980577×40589641000000     		ar = 1437561037.15859m²