Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 505 / 537
↖ ↑ ↗
← S  8.754795°
W  2.460937°		 ← 38.636 km → S  8.754795°
W  2.109375°		 →
↑
38.618 km
↓
↑
38.618 km
↓
S  9.102097°
W  2.460937°		 ← 38.600 km →
1 491.37 km²		 S  9.102097°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49365234375 y=0.52490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49365234375 × 210)
    floor (0.49365234375 × 1024)
    floor (505.5)     		tx = 505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52490234375 × 210)
    floor (0.52490234375 × 1024)
    floor (537.5)     		ty = 537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 505 / 537 ti = "10/505/537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/505/537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 505 ÷ 210
    505 ÷ 1024     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 537 ÷ 210
    537 ÷ 1024     		y = 0.5244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15339807878418))-π/2
    2×atan(0.857788186558546)-π/2
    2×0.708998166952786-π/2
    1.41799633390557-1.57079632675     		φ = -0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 505 KachelY 537 -0.04295146 -0.15279999 -2.460937 -8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 506 KachelY 537 -0.03681554 -0.15279999 -2.109375 -8.754795
    Unten links KachelX 505 KachelY + 1 538 -0.04295146 -0.15886156 -2.460937 -9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 506 KachelY + 1 538 -0.03681554 -0.15886156 -2.109375 -9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15279999--0.15886156) × R
    0.00606157000000002 × 6371000     		dl = 38618.2624700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15279999--0.15886156) × R
    0.00606157000000002 × 6371000     		dr = 38618.2624700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.03681554) × cos(-0.15279999) × R
    0.00613592 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 38636.4773458443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.03681554) × cos(-0.15886156) × R
    0.00613592 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 38599.7012281603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15279999)-sin(-0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.987408017809851)×R²
    abs(-0.03681554--0.04295146)×0.000940759443977313×R²
    0.00613592×0.000940759443977313×6371000²
    0.00613592×0.000940759443977313×40589641000000     		ar = 1491368074.57703m²