Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 507 / 523
↖ ↑ ↗
← S  3.864255°
W  1.757813°		 ← 39.003 km → S  3.864255°
W  1.406250°		 →
↑
38.995 km
↓
↑
38.995 km
↓
S  4.214943°
W  1.757813°		 ← 38.986 km →
1 520.60 km²		 S  4.214943°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49560546875 y=0.51123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49560546875 × 210)
    floor (0.49560546875 × 1024)
    floor (507.5)     		tx = 507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51123046875 × 210)
    floor (0.51123046875 × 1024)
    floor (523.5)     		ty = 523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 507 / 523 ti = "10/507/523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/507/523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 507 ÷ 210
    507 ÷ 1024     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 523 ÷ 210
    523 ÷ 1024     		y = 0.5107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0674951546650391))-π/2
    2×atan(0.934732249695904)-π/2
    2×0.751676180308547-π/2
    1.50335236061709-1.57079632675     		φ = -0.06744397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06744397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.864255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 507 KachelY 523 -0.03067962 -0.06744397 -1.757813 -3.864255
    Oben rechts KachelX + 1 508 KachelY 523 -0.02454369 -0.06744397 -1.406250 -3.864255
    Unten links KachelX 507 KachelY + 1 524 -0.03067962 -0.07356464 -1.757813 -4.214943
    Unten rechts KachelX + 1 508 KachelY + 1 524 -0.02454369 -0.07356464 -1.406250 -4.214943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06744397--0.07356464) × R
    0.00612066999999999 × 6371000     		dl = 38994.78857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06744397--0.07356464) × R
    0.00612066999999999 × 6371000     		dr = 38994.78857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.02454369) × cos(-0.06744397) × R
    0.00613593 × 0.9977265174318 × 6371000     		do = 39003.1350266409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.02454369) × cos(-0.07356464) × R
    0.00613593 × 0.9972953419468 × 6371000     		du = 38986.2795102566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06744397)-sin(-0.07356464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9977265174318-0.9972953419468)×R²
    abs(-0.02454369--0.03067962)×0.000431175484999602×R²
    0.00613593×0.000431175484999602×6371000²
    0.00613593×0.000431175484999602×40589641000000     		ar = 1520595112.40586m²