Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 508 / 532
↖ ↑ ↗
← S  7.013668°
W  1.406250°		 ← 38.799 km → S  7.013668°
W  1.054688°		 →
↑
38.785 km
↓
↑
38.785 km
↓
S  7.362467°
W  1.406250°		 ← 38.770 km →
1 504.25 km²		 S  7.362467°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49658203125 y=0.52001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49658203125 × 210)
    floor (0.49658203125 × 1024)
    floor (508.5)     		tx = 508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52001953125 × 210)
    floor (0.52001953125 × 1024)
    floor (532.5)     		ty = 532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 508 / 532 ti = "10/508/532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/508/532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 508 ÷ 210
    508 ÷ 1024     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 532 ÷ 210
    532 ÷ 1024     		y = 0.51953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51953125 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122718463027344))-π/2
    2×atan(0.884512650523422)-π/2
    2×0.724192364410406-π/2
    1.44838472882081-1.57079632675     		φ = -0.12241160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12241160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.013668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 508 KachelY 532 -0.02454369 -0.12241160 -1.406250 -7.013668
    Oben rechts KachelX + 1 509 KachelY 532 -0.01840777 -0.12241160 -1.054688 -7.013668
    Unten links KachelX 508 KachelY + 1 533 -0.02454369 -0.12849929 -1.406250 -7.362467
    Unten rechts KachelX + 1 509 KachelY + 1 533 -0.01840777 -0.12849929 -1.054688 -7.362467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12241160--0.12849929) × R
    0.00608768999999999 × 6371000     		dl = 38784.67299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12241160--0.12849929) × R
    0.00608768999999999 × 6371000     		dr = 38784.67299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.01840777) × cos(-0.12241160) × R
    0.00613592 × 0.992517051180543 × 6371000     		do = 38799.4232864345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.01840777) × cos(-0.12849929) × R
    0.00613592 × 0.991755320332752 × 6371000     		du = 38769.6457450223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12241160)-sin(-0.12849929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992517051180543-0.991755320332752)×R²
    abs(-0.01840777--0.02454369)×0.000761730847791409×R²
    0.00613592×0.000761730847791409×6371000²
    0.00613592×0.000761730847791409×40589641000000     		ar = 1504250133.88677m²