Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 509 / 507
↖ ↑ ↗
← N  1.757537°
W  1.054688°		 ← 39.074 km → N  1.757537°
W  0.703125°		 →
↑
39.077 km
↓
↑
39.077 km
↓
N  1.406109°
W  1.054688°		 ← 39.080 km →
1 527.01 km²		 N  1.406109°
W  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49755859375 y=0.49560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49755859375 × 210)
    floor (0.49755859375 × 1024)
    floor (509.5)     		tx = 509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49560546875 × 210)
    floor (0.49560546875 × 1024)
    floor (507.5)     		ty = 507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 509 / 507 ti = "10/509/507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/509/507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 509 ÷ 210
    509 ÷ 1024     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 507 ÷ 210
    507 ÷ 1024     		y = 0.4951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0306796157568359))-π/2
    2×atan(1.03115508511734)-π/2
    2×0.800735565438176-π/2
    1.60147113087635-1.57079632675     		φ = 0.03067480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03067480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.757537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 509 KachelY 507 -0.01840777 0.03067480 -1.054688 1.757537
    Oben rechts KachelX + 1 510 KachelY 507 -0.01227185 0.03067480 -0.703125 1.757537
    Unten links KachelX 509 KachelY + 1 508 -0.01840777 0.02454123 -1.054688 1.406109
    Unten rechts KachelX + 1 510 KachelY + 1 508 -0.01227185 0.02454123 -0.703125 1.406109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03067480-0.02454123) × R
    0.00613357 × 6371000     		dl = 39076.97447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03067480-0.02454123) × R
    0.00613357 × 6371000     		dr = 39076.97447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01227185) × cos(0.03067480) × R
    0.00613592 × 0.999529565211923 × 6371000     		do = 39073.5561085174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01227185) × cos(0.02454123) × R
    0.00613592 × 0.999698879128554 × 6371000     		du = 39080.1749190576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03067480)-sin(0.02454123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999529565211923-0.999698879128554)×R²
    abs(-0.01227185--0.01840777)×0.000169313916630887×R²
    0.00613592×0.000169313916630887×6371000²
    0.00613592×0.000169313916630887×40589641000000     		ar = 1527010463.31735m²