Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5124 / 5116
↖ ↑ ↗
← S 40.847060°
E 45.175781°		 ← 3 696.48 m → S 40.847060°
E 45.219727°		 →
↑
3 695.50 m
↓
↑
3 695.50 m
↓
S 40.880295°
E 45.175781°		 ← 3 694.62 m →
13 656 894 m²		 S 40.880295°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62554931640625 y=0.62457275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62554931640625 × 213)
    floor (0.62554931640625 × 8192)
    floor (5124.5)     		tx = 5124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62457275390625 × 213)
    floor (0.62457275390625 × 8192)
    floor (5116.5)     		ty = 5116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5124 / 5116 ti = "13/5124/5116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5124/5116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5124 ÷ 213
    5124 ÷ 8192     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5116 ÷ 213
    5116 ÷ 8192     		y = 0.62451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782330201799316))-π/2
    2×atan(0.457339076362498)-π/2
    2×0.428940316918761-π/2
    0.857880633837521-1.57079632675     		φ = -0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5124 KachelY 5116 0.78846612 -0.71291569 45.175781 -40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 5125 KachelY 5116 0.78923312 -0.71291569 45.219727 -40.847060
    Unten links KachelX 5124 KachelY + 1 5117 0.78846612 -0.71349574 45.175781 -40.880295
    Unten rechts KachelX + 1 5125 KachelY + 1 5117 0.78923312 -0.71349574 45.219727 -40.880295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71291569--0.71349574) × R
    0.000580050000000054 × 6371000     		dl = 3695.49855000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71291569--0.71349574) × R
    0.000580050000000054 × 6371000     		dr = 3695.49855000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(-0.71291569) × R
    0.000766999999999962 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 3696.47567246357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(-0.71349574) × R
    0.000766999999999962 × 0.756078605583225 × 6371000     		du = 3694.62120266277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71291569)-sin(-0.71349574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.756078605583225)×R²
    abs(0.78923312-0.78846612)×0.000379504383312468×R²
    0.000766999999999962×0.000379504383312468×6371000²
    0.000766999999999962×0.000379504383312468×40589641000000     		ar = 13656894.2753867m²