Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 518 / 526
↖ ↑ ↗
← S  4.915833°
E  2.109375°		 ← 38.948 km → S  4.915833°
E  2.460937°		 →
↑
38.938 km
↓
↑
38.938 km
↓
S  5.266008°
E  2.109375°		 ← 38.927 km →
1 516.14 km²		 S  5.266008°
E  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50634765625 y=0.51416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50634765625 × 210)
    floor (0.50634765625 × 1024)
    floor (518.5)     		tx = 518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51416015625 × 210)
    floor (0.51416015625 × 1024)
    floor (526.5)     		ty = 526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 518 / 526 ti = "10/518/526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/518/526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 518 ÷ 210
    518 ÷ 1024     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 526 ÷ 210
    526 ÷ 1024     		y = 0.513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.513671875 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(0.917683311812137)-π/2
    2×0.742499429468446-π/2
    1.48499885893689-1.57079632675     		φ = -0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 518 KachelY 526 0.03681554 -0.08579747 2.109375 -4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 519 KachelY 526 0.04295146 -0.08579747 2.460937 -4.915833
    Unten links KachelX 518 KachelY + 1 527 0.03681554 -0.09190918 2.109375 -5.266008
    Unten rechts KachelX + 1 519 KachelY + 1 527 0.04295146 -0.09190918 2.460937 -5.266008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.08579747--0.09190918) × R
    0.00611170999999999 × 6371000     		dl = 38937.70441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.08579747--0.09190918) × R
    0.00611170999999999 × 6371000     		dr = 38937.70441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.04295146) × cos(-0.08579747) × R
    0.00613592 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 38948.1526282556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.04295146) × cos(-0.09190918) × R
    0.00613592 × 0.995779323680174 × 6371000     		du = 38926.9518678712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.08579747)-sin(-0.09190918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.995779323680174)×R²
    abs(0.04295146-0.03681554)×0.000542330643012789×R²
    0.00613592×0.000542330643012789×6371000²
    0.00613592×0.000542330643012789×40589641000000     		ar = 1516143619.2629m²