Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 519 / 523
↖ ↑ ↗
← S  3.864255°
E  2.460937°		 ← 39.003 km → S  3.864255°
E  2.812500°		 →
↑
38.995 km
↓
↑
38.995 km
↓
S  4.214943°
E  2.460937°		 ← 38.986 km →
1 520.60 km²		 S  4.214943°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50732421875 y=0.51123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50732421875 × 210)
    floor (0.50732421875 × 1024)
    floor (519.5)     		tx = 519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51123046875 × 210)
    floor (0.51123046875 × 1024)
    floor (523.5)     		ty = 523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 519 / 523 ti = "10/519/523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/519/523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 519 ÷ 210
    519 ÷ 1024     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 523 ÷ 210
    523 ÷ 1024     		y = 0.5107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0674951546650391))-π/2
    2×atan(0.934732249695904)-π/2
    2×0.751676180308547-π/2
    1.50335236061709-1.57079632675     		φ = -0.06744397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06744397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.864255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 519 KachelY 523 0.04295146 -0.06744397 2.460937 -3.864255
    Oben rechts KachelX + 1 520 KachelY 523 0.04908739 -0.06744397 2.812500 -3.864255
    Unten links KachelX 519 KachelY + 1 524 0.04295146 -0.07356464 2.460937 -4.214943
    Unten rechts KachelX + 1 520 KachelY + 1 524 0.04908739 -0.07356464 2.812500 -4.214943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06744397--0.07356464) × R
    0.00612066999999999 × 6371000     		dl = 38994.78857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06744397--0.07356464) × R
    0.00612066999999999 × 6371000     		dr = 38994.78857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04908739) × cos(-0.06744397) × R
    0.00613593 × 0.9977265174318 × 6371000     		do = 39003.1350266409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04908739) × cos(-0.07356464) × R
    0.00613593 × 0.9972953419468 × 6371000     		du = 38986.2795102566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06744397)-sin(-0.07356464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9977265174318-0.9972953419468)×R²
    abs(0.04908739-0.04295146)×0.000431175484999602×R²
    0.00613593×0.000431175484999602×6371000²
    0.00613593×0.000431175484999602×40589641000000     		ar = 1520595112.40586m²