Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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6 / 52 / 52
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
E112.500000°		 ← 172.198 km → S 74.019543°
E118.125000°		 →
↑
164.303 km
↓
↑
164.303 km
↓
S 75.497157°
E112.500000°		 ← 156.636 km →
27 015.7 km²		 S 75.497157°
E118.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8203125 y=0.8203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8203125 × 26)
    floor (0.8203125 × 64)
    floor (52.5)     		tx = 52
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8203125 × 26)
    floor (0.8203125 × 64)
    floor (52.5)     		ty = 52
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 52 / 52 ti = "6/52/52"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/52/52.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52 ÷ 26
    52 ÷ 64     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52 ÷ 26
    52 ÷ 64     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52 KachelY 52 1.96349541 -1.29188474 112.500000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 53 KachelY 52 2.06167018 -1.29188474 118.125000 -74.019543
    Unten links KachelX 52 KachelY + 1 53 1.96349541 -1.31767397 112.500000 -75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 53 KachelY + 1 53 2.06167018 -1.31767397 118.125000 -75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.31767397) × R
    0.02578923 × 6371000     		dl = 164303.18433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.31767397) × R
    0.02578923 × 6371000     		dr = 164303.18433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-2.06167018) × cos(-1.29188474) × R
    0.0981747700000002 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 172198.209587825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-2.06167018) × cos(-1.31767397) × R
    0.0981747700000002 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 156635.590869828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.250428038638996)×R²
    abs(2.06167018-1.96349541)×0.0248814210103337×R²
    0.0981747700000002×0.0248814210103337×6371000²
    0.0981747700000002×0.0248814210103337×40589641000000     		ar = 27015717592.8525m²