Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5200 / 5200
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
E 48.515625°		 ← 3 539.86 m → S 43.580391°
E 48.559571°		 →
↑
3 538.90 m
↓
↑
3 538.90 m
↓
S 43.612217°
E 48.515625°		 ← 3 537.99 m →
12 523 897 m²		 S 43.612217°
E 48.559571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63482666015625 y=0.63482666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63482666015625 × 213)
    floor (0.63482666015625 × 8192)
    floor (5200.5)     		tx = 5200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63482666015625 × 213)
    floor (0.63482666015625 × 8192)
    floor (5200.5)     		ty = 5200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5200 / 5200 ti = "13/5200/5200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5200/5200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5200 ÷ 213
    5200 ÷ 8192     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5200 ÷ 213
    5200 ÷ 8192     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5200 KachelY 5200 0.84675739 -0.76062131 48.515625 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 5201 KachelY 5200 0.84752439 -0.76062131 48.559571 -43.580391
    Unten links KachelX 5200 KachelY + 1 5201 0.84675739 -0.76117678 48.515625 -43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 5201 KachelY + 1 5201 0.84752439 -0.76117678 48.559571 -43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76117678) × R
    0.000555470000000002 × 6371000     		dl = 3538.89937000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76117678) × R
    0.000555470000000002 × 6371000     		dr = 3538.89937000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.84752439) × cos(-0.76062131) × R
    0.000766999999999962 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 3539.86018715053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.84752439) × cos(-0.76117678) × R
    0.000766999999999962 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 3537.98845495254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.724024800069398)×R²
    abs(0.84752439-0.84675739)×0.000383037013174214×R²
    0.000766999999999962×0.000383037013174214×6371000²
    0.000766999999999962×0.000383037013174214×40589641000000     		ar = 12523897.3722616m²