Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 522 / 522
↖ ↑ ↗
← S  3.513421°
E  3.515625°		 ← 39.018 km → S  3.513421°
E  3.867187°		 →
↑
39.011 km
↓
↑
39.011 km
↓
S  3.864255°
E  3.515625°		 ← 39.003 km →
1 521.85 km²		 S  3.864255°
E  3.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51025390625 y=0.51025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51025390625 × 210)
    floor (0.51025390625 × 1024)
    floor (522.5)     		tx = 522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51025390625 × 210)
    floor (0.51025390625 × 1024)
    floor (522.5)     		ty = 522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 522 / 522 ti = "10/522/522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/522/522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 522 ÷ 210
    522 ÷ 1024     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 522 ÷ 210
    522 ÷ 1024     		y = 0.509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0613592315136719))-π/2
    2×atan(0.940485327117559)-π/2
    2×0.754737780770683-π/2
    1.50947556154137-1.57079632675     		φ = -0.06132077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06132077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.513421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 522 KachelY 522 0.06135923 -0.06132077 3.515625 -3.513421
    Oben rechts KachelX + 1 523 KachelY 522 0.06749515 -0.06132077 3.867187 -3.513421
    Unten links KachelX 522 KachelY + 1 523 0.06135923 -0.06744397 3.515625 -3.864255
    Unten rechts KachelX + 1 523 KachelY + 1 523 0.06749515 -0.06744397 3.867187 -3.864255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06132077--0.06744397) × R
    0.00612320000000001 × 6371000     		dl = 39010.9072000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06132077--0.06744397) × R
    0.00612320000000001 × 6371000     		dr = 39010.9072000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06749515) × cos(-0.06132077) × R
    0.00613592 × 0.998120470650342 × 6371000     		do = 39018.4718595563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06749515) × cos(-0.06744397) × R
    0.00613592 × 0.9977265174318 × 6371000     		du = 39003.0714614845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06132077)-sin(-0.06744397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998120470650342-0.9977265174318)×R²
    abs(0.06749515-0.06135923)×0.000393953218542187×R²
    0.00613592×0.000393953218542187×6371000²
    0.00613592×0.000393953218542187×40589641000000     		ar = 1521850348.01985m²