Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 524 / 500
↖ ↑ ↗
← N  4.214943°
E  4.218750°		 ← 38.986 km → N  4.214943°
E  4.570312°		 →
↑
38.995 km
↓
↑
38.995 km
↓
N  3.864255°
E  4.218750°		 ← 39.003 km →
1 520.59 km²		 N  3.864255°
E  4.570312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51220703125 y=0.48876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51220703125 × 210)
    floor (0.51220703125 × 1024)
    floor (524.5)     		tx = 524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48876953125 × 210)
    floor (0.48876953125 × 1024)
    floor (500.5)     		ty = 500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 524 / 500 ti = "10/524/500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/524/500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 524 ÷ 210
    524 ÷ 1024     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 500 ÷ 210
    500 ÷ 1024     		y = 0.48828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48828125 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(1.07640962084785)-π/2
    2×0.822180481197209-π/2
    1.64436096239442-1.57079632675     		φ = 0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 524 KachelY 500 0.07363108 0.07356464 4.218750 4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 525 KachelY 500 0.07976700 0.07356464 4.570312 4.214943
    Unten links KachelX 524 KachelY + 1 501 0.07363108 0.06744397 4.218750 3.864255
    Unten rechts KachelX + 1 525 KachelY + 1 501 0.07976700 0.06744397 4.570312 3.864255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07356464-0.06744397) × R
    0.00612066999999999 × 6371000     		dl = 38994.78857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07356464-0.06744397) × R
    0.00612066999999999 × 6371000     		dr = 38994.78857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07976700) × cos(0.07356464) × R
    0.00613592 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 38986.2159725704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07976700) × cos(0.06744397) × R
    0.00613592 × 0.9977265174318 × 6371000     		du = 39003.0714614845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07356464)-sin(0.06744397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.9977265174318)×R²
    abs(0.07976700-0.07363108)×0.000431175484999602×R²
    0.00613592×0.000431175484999602×6371000²
    0.00613592×0.000431175484999602×40589641000000     		ar = 1520592634.22389m²