Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 529 / 497
↖ ↑ ↗
← N  5.266008°
E  5.976562°		 ← 38.927 km → N  5.266008°
E  6.328125°		 →
↑
38.938 km
↓
↑
38.938 km
↓
N  4.915833°
E  5.976562°		 ← 38.948 km →
1 516.15 km²		 N  4.915833°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51708984375 y=0.48583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51708984375 × 210)
    floor (0.51708984375 × 1024)
    floor (529.5)     		tx = 529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48583984375 × 210)
    floor (0.48583984375 × 1024)
    floor (497.5)     		ty = 497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 529 / 497 ti = "10/529/497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/529/497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 529 ÷ 210
    529 ÷ 1024     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 497 ÷ 210
    497 ÷ 1024     		y = 0.4853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4853515625 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0920388472705078))-π/2
    2×atan(1.09640741368891)-π/2
    2×0.831352751391604-π/2
    1.66270550278321-1.57079632675     		φ = 0.09190918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09190918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.266008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 529 KachelY 497 0.10431069 0.09190918 5.976562 5.266008
    Oben rechts KachelX + 1 530 KachelY 497 0.11044662 0.09190918 6.328125 5.266008
    Unten links KachelX 529 KachelY + 1 498 0.10431069 0.08579747 5.976562 4.915833
    Unten rechts KachelX + 1 530 KachelY + 1 498 0.11044662 0.08579747 6.328125 4.915833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09190918-0.08579747) × R
    0.00611170999999999 × 6371000     		dl = 38937.70441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09190918-0.08579747) × R
    0.00611170999999999 × 6371000     		dr = 38937.70441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.11044662) × cos(0.09190918) × R
    0.00613593 × 0.995779323680174 × 6371000     		do = 38927.015308972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.11044662) × cos(0.08579747) × R
    0.00613593 × 0.996321654323187 × 6371000     		du = 38948.2161039082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09190918)-sin(0.08579747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995779323680174-0.996321654323187)×R²
    abs(0.11044662-0.10431069)×0.000542330643012789×R²
    0.00613593×0.000542330643012789×6371000²
    0.00613593×0.000542330643012789×40589641000000     		ar = 1516146090.1941m²