Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 529 / 529
↖ ↑ ↗
← S  5.965753°
E  5.976562°		 ← 38.880 km → S  5.965753°
E  6.328125°		 →
↑
38.868 km
↓
↑
38.868 km
↓
S  6.315298°
E  5.976562°		 ← 38.855 km →
1 510.69 km²		 S  6.315298°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51708984375 y=0.51708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51708984375 × 210)
    floor (0.51708984375 × 1024)
    floor (529.5)     		tx = 529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51708984375 × 210)
    floor (0.51708984375 × 1024)
    floor (529.5)     		ty = 529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 529 / 529 ti = "10/529/529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/529/529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 529 ÷ 210
    529 ÷ 1024     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 529 ÷ 210
    529 ÷ 1024     		y = 0.5166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.104310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104310693573242))-π/2
    2×atan(0.900945336006611)-π/2
    2×0.733337141437415-π/2
    1.46667428287483-1.57079632675     		φ = -0.10412204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10412204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.965753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 529 KachelY 529 0.10431069 -0.10412204 5.976562 -5.965753
    Oben rechts KachelX + 1 530 KachelY 529 0.11044662 -0.10412204 6.328125 -5.965753
    Unten links KachelX 529 KachelY + 1 530 0.10431069 -0.11022275 5.976562 -6.315298
    Unten rechts KachelX + 1 530 KachelY + 1 530 0.11044662 -0.11022275 6.328125 -6.315298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10412204--0.11022275) × R
    0.00610071 × 6371000     		dl = 38867.62341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10412204--0.11022275) × R
    0.00610071 × 6371000     		dr = 38867.62341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.11044662) × cos(-0.10412204) × R
    0.00613593 × 0.994584195954369 × 6371000     		do = 38880.2953639277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.11044662) × cos(-0.11022275) × R
    0.00613593 × 0.993931620181548 × 6371000     		du = 38854.7848652712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10412204)-sin(-0.11022275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994584195954369-0.993931620181548)×R²
    abs(0.11044662-0.10431069)×0.000652575772820962×R²
    0.00613593×0.000652575772820962×6371000²
    0.00613593×0.000652575772820962×40589641000000     		ar = 1510693597.54982m²