Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 53 / 51
↖ ↑ ↗
← S 72.395706°
E118.125000°		 ← 189.168 km → S 72.395706°
E123.750000°		 →
↑
180.562 km
↓
↑
180.562 km
↓
S 74.019543°
E118.125000°		 ← 172.198 km →
32 626.8 km²		 S 74.019543°
E123.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8359375 y=0.8046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8359375 × 26)
    floor (0.8359375 × 64)
    floor (53.5)     		tx = 53
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8046875 × 26)
    floor (0.8046875 × 64)
    floor (51.5)     		ty = 51
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 53 / 51 ti = "6/53/51"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/53/51.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53 ÷ 26
    53 ÷ 64     		x = 0.828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51 ÷ 26
    51 ÷ 64     		y = 0.796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828125 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06167018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796875 × 2 - 1) × π
    -0.59375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06167018} λ = 2.06167018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86532063801563))-π/2
    2×atan(0.154846552233033)-π/2
    2×0.15362644896359-π/2
    0.30725289792718-1.57079632675     		φ = -1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06167018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53 KachelY 51 2.06167018 -1.26354343 118.125000 -72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 54 KachelY 51 2.15984495 -1.26354343 123.750000 -72.395706
    Unten links KachelX 53 KachelY + 1 52 2.06167018 -1.29188474 118.125000 -74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 54 KachelY + 1 52 2.15984495 -1.29188474 123.750000 -74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26354343--1.29188474) × R
    0.0283413100000001 × 6371000     		dl = 180562.48601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26354343--1.29188474) × R
    0.0283413100000001 × 6371000     		dr = 180562.48601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06167018-2.15984495) × cos(-1.26354343) × R
    0.09817477 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 189168.420176174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06167018-2.15984495) × cos(-1.29188474) × R
    0.09817477 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 172198.209587825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26354343)-sin(-1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.275309459649329)×R²
    abs(2.15984495-2.06167018)×0.0271318704090877×R²
    0.09817477×0.0271318704090877×6371000²
    0.09817477×0.0271318704090877×40589641000000     		ar = 32626812447.3379m²