Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 53 / 53
↖ ↑ ↗
← S 75.497157°
E118.125000°		 ← 156.636 km → S 75.497157°
E123.750000°		 →
↑
149.408 km
↓
↑
149.408 km
↓
S 76.840817°
E118.125000°		 ← 142.393 km →
22 339.7 km²		 S 76.840817°
E123.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8359375 y=0.8359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8359375 × 26)
    floor (0.8359375 × 64)
    floor (53.5)     		tx = 53
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8359375 × 26)
    floor (0.8359375 × 64)
    floor (53.5)     		ty = 53
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 53 / 53 ti = "6/53/53"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/53/53.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53 ÷ 26
    53 ÷ 64     		x = 0.828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53 ÷ 26
    53 ÷ 64     		y = 0.828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828125 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06167018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.828125 × 2 - 1) × π
    -0.65625 × 3.1415926535     		Φ = -2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06167018} λ = 2.06167018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.06167017885938))-π/2
    2×atan(0.127241276636093)-π/2
    2×0.126561177849088-π/2
    0.253122355698176-1.57079632675     		φ = -1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06167018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53 KachelY 53 2.06167018 -1.31767397 118.125000 -75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 54 KachelY 53 2.15984495 -1.31767397 123.750000 -75.497157
    Unten links KachelX 53 KachelY + 1 54 2.06167018 -1.34112525 118.125000 -76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 54 KachelY + 1 54 2.15984495 -1.34112525 123.750000 -76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.31767397--1.34112525) × R
    0.02345128 × 6371000     		dl = 149408.10488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.31767397--1.34112525) × R
    0.02345128 × 6371000     		dr = 149408.10488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06167018-2.15984495) × cos(-1.31767397) × R
    0.09817477 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 156635.590869828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06167018-2.15984495) × cos(-1.34112525) × R
    0.09817477 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 142393.112297533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.31767397)-sin(-1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.227657249737119)×R²
    abs(2.15984495-2.06167018)×0.0227707889018772×R²
    0.09817477×0.0227707889018772×6371000²
    0.09817477×0.0227707889018772×40589641000000     		ar = 22339679764.1048m²