Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53249 / 53247
↖ ↑ ↗
← S 74.018031°
E112.505493°		 ← 168.19 m → S 74.018031°
E112.510987°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
S 74.019543°
E112.505493°		 ← 168.17 m →
28 276 m²		 S 74.019543°
E112.510987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812522888183594 y=0.812492370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812522888183594 × 216)
    floor (0.812522888183594 × 65536)
    floor (53249.5)     		tx = 53249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812492370605469 × 216)
    floor (0.812492370605469 × 65536)
    floor (53247.5)     		ty = 53247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53249 / 53247 ti = "16/53249/53247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53249/53247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53249 ÷ 216
    53249 ÷ 65536     		x = 0.812515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53247 ÷ 216
    53247 ÷ 65536     		y = 0.812484741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812515258789062 × 2 - 1) × π
    0.625030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96359128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.812484741210938 × 2 - 1) × π
    -0.624969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.96339953463826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96359128} λ = 1.96359128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96339953463826))-π/2
    2×atan(0.140380380857297)-π/2
    2×0.139468990691116-π/2
    0.278937981382233-1.57079632675     		φ = -1.29185835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96359128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.505493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29185835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.018031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53249 KachelY 53247 1.96359128 -1.29185835 112.505493 -74.018031
    Oben rechts KachelX + 1 53250 KachelY 53247 1.96368716 -1.29185835 112.510987 -74.018031
    Unten links KachelX 53249 KachelY + 1 53248 1.96359128 -1.29188474 112.505493 -74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 53250 KachelY + 1 53248 1.96368716 -1.29188474 112.510987 -74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29185835--1.29188474) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dl = 168.130689999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29185835--1.29188474) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dr = 168.130689999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96359128-1.96368716) × cos(-1.29185835) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.275334829729277 × 6371000     		do = 168.188688235956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96359128-1.96368716) × cos(-1.29188474) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 168.173190885072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29185835)-sin(-1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275334829729277-0.275309459649329)×R²
    abs(1.96368716-1.96359128)×2.53700799479617e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.53700799479617e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.53700799479617e-05×40589641000000     		ar = 28276.3774147312m²