Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53312 / 53312
↖ ↑ ↗
← S 74.116047°
E112.851562°		 ← 167.18 m → S 74.116047°
E112.857056°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
S 74.117550°
E112.851562°		 ← 167.17 m →
27 937 m²		 S 74.117550°
E112.857056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813484191894531 y=0.813484191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813484191894531 × 216)
    floor (0.813484191894531 × 65536)
    floor (53312.5)     		tx = 53312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.813484191894531 × 216)
    floor (0.813484191894531 × 65536)
    floor (53312.5)     		ty = 53312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53312 / 53312 ti = "16/53312/53312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53312/53312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53312 ÷ 216
    53312 ÷ 65536     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53312 ÷ 216
    53312 ÷ 65536     		y = 0.8134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    -0.626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96963133158887))-π/2
    2×atan(0.139508279031055)-π/2
    2×0.138613640449438-π/2
    0.277227280898877-1.57079632675     		φ = -1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53312 KachelY 53312 1.96963133 -1.29356905 112.851562 -74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 53313 KachelY 53312 1.96972721 -1.29356905 112.857056 -74.116047
    Unten links KachelX 53312 KachelY + 1 53313 1.96963133 -1.29359528 112.851562 -74.117550
    Unten rechts KachelX + 1 53313 KachelY + 1 53313 1.96972721 -1.29359528 112.857056 -74.117550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29356905--1.29359528) × R
    2.62299999997939e-05 × 6371000     		dl = 167.111329998687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29356905--1.29359528) × R
    2.62299999997939e-05 × 6371000     		dr = 167.111329998687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.96972721) × cos(-1.29356905) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.273689848953736 × 6371000     		do = 167.183849294644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.96972721) × cos(-1.29359528) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.273664620373428 × 6371000     		du = 167.168438379024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29356905)-sin(-1.29359528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.273689848953736-0.273664620373428)×R²
    abs(1.96972721-1.96963133)×2.52285803078456e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.52285803078456e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.52285803078456e-05×40589641000000     		ar = 27937.0277421497m²