Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 534 / 534
↖ ↑ ↗
← S  7.710991°
E  7.734375°		 ← 38.738 km → S  7.710991°
E  8.085937°		 →
↑
38.722 km
↓
↑
38.722 km
↓
S  8.059230°
E  7.734375°		 ← 38.706 km →
1 499.42 km²		 S  8.059230°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52197265625 y=0.52197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52197265625 × 210)
    floor (0.52197265625 × 1024)
    floor (534.5)     		tx = 534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52197265625 × 210)
    floor (0.52197265625 × 1024)
    floor (534.5)     		ty = 534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 534 / 534 ti = "10/534/534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/534/534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 534 ÷ 210
    534 ÷ 1024     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 534 ÷ 210
    534 ÷ 1024     		y = 0.521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521484375 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134990309330078))-π/2
    2×atan(0.873724378621565)-π/2
    2×0.718107066908801-π/2
    1.4362141338176-1.57079632675     		φ = -0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 534 KachelY 534 0.13499031 -0.13458219 7.734375 -7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 535 KachelY 534 0.14112623 -0.13458219 8.085937 -7.710991
    Unten links KachelX 534 KachelY + 1 535 0.13499031 -0.14066009 7.734375 -8.059230
    Unten rechts KachelX + 1 535 KachelY + 1 535 0.14112623 -0.14066009 8.085937 -8.059230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13458219--0.14066009) × R
    0.0060779 × 6371000     		dl = 38722.3009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13458219--0.14066009) × R
    0.0060779 × 6371000     		dr = 38722.3009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.14112623) × cos(-0.13458219) × R
    0.00613591999999999 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 38738.4565311688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.14112623) × cos(-0.14066009) × R
    0.00613591999999999 × 0.990123669476922 × 6371000     		du = 38705.8613373532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13458219)-sin(-0.14066009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.990123669476922)×R²
    abs(0.14112623-0.13499031)×0.000833808415390824×R²
    0.00613591999999999×0.000833808415390824×6371000²
    0.00613591999999999×0.000833808415390824×40589641000000     		ar = 1499415705.56278m²