Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5377 / 5375
↖ ↑ ↗
← S 48.893615°
E 56.293945°		 ← 3 212.71 m → S 48.893615°
E 56.337891°		 →
↑
3 211.75 m
↓
↑
3 211.75 m
↓
S 48.922499°
E 56.293945°		 ← 3 210.86 m →
10 315 442 m²		 S 48.922499°
E 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65643310546875 y=0.65618896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65643310546875 × 213)
    floor (0.65643310546875 × 8192)
    floor (5377.5)     		tx = 5377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65618896484375 × 213)
    floor (0.65618896484375 × 8192)
    floor (5375.5)     		ty = 5375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5377 / 5375 ti = "13/5377/5375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5377/5375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5377 ÷ 213
    5377 ÷ 8192     		x = 0.6563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5375 ÷ 213
    5375 ÷ 8192     		y = 0.6561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98251469} λ = 0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980980713824829))-π/2
    2×atan(0.37494320649619)-π/2
    2×0.358720877775912-π/2
    0.717441755551824-1.57079632675     		φ = -0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5377 KachelY 5375 0.98251469 -0.85335457 56.293945 -48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 5378 KachelY 5375 0.98328169 -0.85335457 56.337891 -48.893615
    Unten links KachelX 5377 KachelY + 1 5376 0.98251469 -0.85385869 56.293945 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 5378 KachelY + 1 5376 0.98328169 -0.85385869 56.337891 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85335457--0.85385869) × R
    0.000504119999999997 × 6371000     		dl = 3211.74851999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85335457--0.85385869) × R
    0.000504119999999997 × 6371000     		dr = 3211.74851999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98251469-0.98328169) × cos(-0.85335457) × R
    0.000766999999999962 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 3212.71192665924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98251469-0.98328169) × cos(-0.85385869) × R
    0.000766999999999962 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 3210.85536253359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85335457)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657079281492828)×R²
    abs(0.98328169-0.98251469)×0.000379932972368047×R²
    0.000766999999999962×0.000379932972368047×6371000²
    0.000766999999999962×0.000379932972368047×40589641000000     		ar = 10315441.585552m²