Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 544 / 544
↖ ↑ ↗
← S 11.178402°
E 11.250000°		 ← 38.350 km → S 11.178402°
E 11.601562°		 →
↑
38.327 km
↓
↑
38.327 km
↓
S 11.523088°
E 11.250000°		 ← 38.304 km →
1 468.98 km²		 S 11.523088°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53173828125 y=0.53173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53173828125 × 210)
    floor (0.53173828125 × 1024)
    floor (544.5)     		tx = 544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53173828125 × 210)
    floor (0.53173828125 × 1024)
    floor (544.5)     		ty = 544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 544 / 544 ti = "10/544/544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/544/544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 544 ÷ 210
    544 ÷ 1024     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 544 ÷ 210
    544 ÷ 1024     		y = 0.53125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53125 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19634954084375))-π/2
    2×atan(0.821724958038489)-π/2
    2×0.687848204496514-π/2
    1.37569640899303-1.57079632675     		φ = -0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 544 KachelY 544 0.19634954 -0.19509992 11.250000 -11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 545 KachelY 544 0.20248546 -0.19509992 11.601562 -11.178402
    Unten links KachelX 544 KachelY + 1 545 0.19634954 -0.20111582 11.250000 -11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 545 KachelY + 1 545 0.20248546 -0.20111582 11.601562 -11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19509992--0.20111582) × R
    0.00601589999999999 × 6371000     		dl = 38327.2988999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19509992--0.20111582) × R
    0.00601589999999999 × 6371000     		dr = 38327.2988999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.20248546) × cos(-0.19509992) × R
    0.00613592000000002 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 38350.3057788245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.20248546) × cos(-0.20111582) × R
    0.00613592000000002 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 38304.0203302124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19509992)-sin(-0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.979844288556578)×R²
    abs(0.20248546-0.19634954)×0.00118401494346521×R²
    0.00613592000000002×0.00118401494346521×6371000²
    0.00613592000000002×0.00118401494346521×40589641000000     		ar = 1468981064.71318m²