Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 552 / 488
↖ ↑ ↗
← N  8.407168°
E 14.062500°		 ← 38.672 km → N  8.407168°
E 14.414063°		 →
↑
38.689 km
↓
↑
38.689 km
↓
N  8.059230°
E 14.062500°		 ← 38.706 km →
1 496.84 km²		 N  8.059230°
E 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53955078125 y=0.47705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53955078125 × 210)
    floor (0.53955078125 × 1024)
    floor (552.5)     		tx = 552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47705078125 × 210)
    floor (0.47705078125 × 1024)
    floor (488.5)     		ty = 488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 552 / 488 ti = "10/552/488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/552/488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 552 ÷ 210
    552 ÷ 1024     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 488 ÷ 210
    488 ÷ 1024     		y = 0.4765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4765625 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147262155632813))-π/2
    2×atan(1.1586576718538)-π/2
    2×0.858764546007208-π/2
    1.71752909201442-1.57079632675     		φ = 0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 552 KachelY 488 0.24543693 0.14673277 14.062500 8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 553 KachelY 488 0.25157285 0.14673277 14.414063 8.407168
    Unten links KachelX 552 KachelY + 1 489 0.24543693 0.14066009 14.062500 8.059230
    Unten rechts KachelX + 1 553 KachelY + 1 489 0.25157285 0.14066009 14.414063 8.059230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14673277-0.14066009) × R
    0.00607268000000002 × 6371000     		dl = 38689.0442800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14673277-0.14066009) × R
    0.00607268000000002 × 6371000     		dr = 38689.0442800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.25157285) × cos(0.14673277) × R
    0.00613592000000002 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 38671.8661552892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.25157285) × cos(0.14066009) × R
    0.00613592000000002 × 0.990123669476922 × 6371000     		du = 38705.8613373534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14673277)-sin(0.14066009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.990123669476922)×R²
    abs(0.25157285-0.24543693)×0.000869621118015029×R²
    0.00613592000000002×0.000869621118015029×6371000²
    0.00613592000000002×0.000869621118015029×40589641000000     		ar = 1496839762.59566m²