Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 556 / 540
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E 15.468750°		 ← 38.522 km → S  9.795678°
E 15.820312°		 →
↑
38.502 km
↓
↑
38.502 km
↓
S 10.141932°
E 15.468750°		 ← 38.481 km →
1 482.38 km²		 S 10.141932°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54345703125 y=0.52783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54345703125 × 210)
    floor (0.54345703125 × 1024)
    floor (556.5)     		tx = 556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52783203125 × 210)
    floor (0.52783203125 × 1024)
    floor (540.5)     		ty = 540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 556 / 540 ti = "10/556/540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/556/540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 556 ÷ 210
    556 ÷ 1024     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 540 ÷ 210
    540 ÷ 1024     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 556 KachelY 540 0.26998062 -0.17096683 15.468750 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 557 KachelY 540 0.27611654 -0.17096683 15.820312 -9.795678
    Unten links KachelX 556 KachelY + 1 541 0.26998062 -0.17701010 15.468750 -10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 557 KachelY + 1 541 0.27611654 -0.17701010 15.820312 -10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.17701010) × R
    0.00604327000000002 × 6371000     		dl = 38501.6731700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.17701010) × R
    0.00604327000000002 × 6371000     		dr = 38501.6731700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.27611654) × cos(-0.17096683) × R
    0.00613592000000002 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 38522.0145034516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.27611654) × cos(-0.17701010) × R
    0.00613592000000002 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 38481.1180438569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.984374574979126)×R²
    abs(0.27611654-0.26998062)×0.00104616074267483×R²
    0.00613592000000002×0.00104616074267483×6371000²
    0.00613592000000002×0.00104616074267483×40589641000000     		ar = 1482379232.71561m²