Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 56 / 89
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
W 22.500000°		 ← 168.831 km → S 57.326521°
W 19.687500°		 →
↑
165.371 km
↓
↑
165.371 km
↓
S 58.813742°
W 22.500000°		 ← 161.941 km →
27 351.6 km²		 S 58.813742°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44140625 y=0.69921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44140625 × 27)
    floor (0.44140625 × 128)
    floor (56.5)     		tx = 56
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69921875 × 27)
    floor (0.69921875 × 128)
    floor (89.5)     		ty = 89
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 56 / 89 ti = "7/56/89"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/56/89.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56 ÷ 27
    56 ÷ 128     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89 ÷ 27
    89 ÷ 128     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56 KachelY 89 -0.39269908 -1.00053654 -22.500000 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 57 KachelY 89 -0.34361170 -1.00053654 -19.687500 -57.326521
    Unten links KachelX 56 KachelY + 1 90 -0.39269908 -1.02649344 -22.500000 -58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 57 KachelY + 1 90 -0.34361170 -1.02649344 -19.687500 -58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.02649344) × R
    0.0259569000000002 × 6371000     		dl = 165371.409900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.02649344) × R
    0.0259569000000002 × 6371000     		dr = 165371.409900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.34361170) × cos(-1.00053654) × R
    0.04908738 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 168830.599629477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.34361170) × cos(-1.02649344) × R
    0.04908738 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 161941.375831195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.517821844059361)×R²
    abs(-0.34361170--0.39269908)×0.0220289012184436×R²
    0.04908738×0.0220289012184436×6371000²
    0.04908738×0.0220289012184436×40589641000000     		ar = 27351649691.3722m²