Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5634 / 5634
↖ ↑ ↗
← S 55.825973°
E 67.587891°		 ← 2 744.78 m → S 55.825973°
E 67.631836°		 →
↑
2 743.93 m
↓
↑
2 743.93 m
↓
S 55.850650°
E 67.587891°		 ← 2 743.04 m →
7 529 096 m²		 S 55.850650°
E 67.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68780517578125 y=0.68780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68780517578125 × 213)
    floor (0.68780517578125 × 8192)
    floor (5634.5)     		tx = 5634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68780517578125 × 213)
    floor (0.68780517578125 × 8192)
    floor (5634.5)     		ty = 5634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5634 / 5634 ti = "13/5634/5634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5634/5634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5634 ÷ 213
    5634 ÷ 8192     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5634 ÷ 213
    5634 ÷ 8192     		y = 0.687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17963122585034))-π/2
    2×atan(0.307392075953325)-π/2
    2×0.298224642695219-π/2
    0.596449285390439-1.57079632675     		φ = -0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5634 KachelY 5634 1.17963123 -0.97434704 67.587891 -55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 5635 KachelY 5634 1.18039822 -0.97434704 67.631836 -55.825973
    Unten links KachelX 5634 KachelY + 1 5635 1.17963123 -0.97477773 67.587891 -55.850650
    Unten rechts KachelX + 1 5635 KachelY + 1 5635 1.18039822 -0.97477773 67.631836 -55.850650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97434704--0.97477773) × R
    0.000430689999999956 × 6371000     		dl = 2743.92598999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97434704--0.97477773) × R
    0.000430689999999956 × 6371000     		dr = 2743.92598999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.18039822) × cos(-0.97434704) × R
    0.000766990000000023 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 2744.78427919436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.18039822) × cos(-0.97477773) × R
    0.000766990000000023 × 0.56135201298455 × 6371000     		du = 2743.04284477708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97434704)-sin(-0.97477773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.56135201298455)×R²
    abs(1.18039822-1.17963123)×0.000356377122392337×R²
    0.000766990000000023×0.000356377122392337×6371000²
    0.000766990000000023×0.000356377122392337×40589641000000     		ar = 7529095.85343049m²