Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57346 / 90114
↖ ↑ ↗
← S 55.779662°
W 22.494507°		 ← 171.76 m → S 55.779662°
W 22.491760°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
S 55.781207°
W 22.494507°		 ← 171.76 m →
29 502 m²		 S 55.781207°
W 22.491760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437519073486328 y=0.687519073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437519073486328 × 217)
    floor (0.437519073486328 × 131072)
    floor (57346.5)     		tx = 57346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687519073486328 × 217)
    floor (0.687519073486328 × 131072)
    floor (90114.5)     		ty = 90114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57346 / 90114 ti = "17/57346/90114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57346/90114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57346 ÷ 217
    57346 ÷ 131072     		x = 0.437515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90114 ÷ 217
    90114 ÷ 131072     		y = 0.687515258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.375030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17819311886174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39260321} λ = -0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17819311886174))-π/2
    2×atan(0.307834456665149)-π/2
    2×0.298628781404872-π/2
    0.597257562809744-1.57079632675     		φ = -0.97353876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97353876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.779662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57346 KachelY 90114 -0.39260321 -0.97353876 -22.494507 -55.779662
    Oben rechts KachelX + 1 57347 KachelY 90114 -0.39255527 -0.97353876 -22.491760 -55.779662
    Unten links KachelX 57346 KachelY + 1 90115 -0.39260321 -0.97356572 -22.494507 -55.781207
    Unten rechts KachelX + 1 57347 KachelY + 1 90115 -0.39255527 -0.97356572 -22.491760 -55.781207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97353876--0.97356572) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97353876--0.97356572) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39260321--0.39255527) × cos(-0.97353876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562376925116817 × 6371000     		do = 171.764388512616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39260321--0.39255527) × cos(-0.97356572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562354632200584 × 6371000     		du = 171.757579682178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97353876)-sin(-0.97356572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562376925116817-0.562354632200584)×R²
    abs(-0.39255527--0.39260321)×2.22929162335683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22929162335683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22929162335683e-05×40589641000000     		ar = 29502.0376341054m²