Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57352 / 90120
↖ ↑ ↗
← S 55.788929°
W 22.478028°		 ← 171.72 m → S 55.788929°
W 22.475281°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
S 55.790473°
W 22.478028°		 ← 171.72 m →
29 484 m²		 S 55.790473°
W 22.475281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437564849853516 y=0.687564849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437564849853516 × 217)
    floor (0.437564849853516 × 131072)
    floor (57352.5)     		tx = 57352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687564849853516 × 217)
    floor (0.687564849853516 × 131072)
    floor (90120.5)     		ty = 90120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57352 / 90120 ti = "17/57352/90120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57352/90120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57352 ÷ 217
    57352 ÷ 131072     		x = 0.43756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90120 ÷ 217
    90120 ÷ 131072     		y = 0.68756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17848074025946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39231559} λ = -0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17848074025946))-π/2
    2×atan(0.307745929620203)-π/2
    2×0.298547915203606-π/2
    0.597095830407213-1.57079632675     		φ = -0.97370050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97370050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.788929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57352 KachelY 90120 -0.39231559 -0.97370050 -22.478028 -55.788929
    Oben rechts KachelX + 1 57353 KachelY 90120 -0.39226765 -0.97370050 -22.475281 -55.788929
    Unten links KachelX 57352 KachelY + 1 90121 -0.39231559 -0.97372745 -22.478028 -55.790473
    Unten rechts KachelX + 1 57353 KachelY + 1 90121 -0.39226765 -0.97372745 -22.475281 -55.790473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97370050--0.97372745) × R
    2.69500000000811e-05 × 6371000     		dl = 171.698450000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97370050--0.97372745) × R
    2.69500000000811e-05 × 6371000     		dr = 171.698450000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39231559--0.39226765) × cos(-0.97370050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562243178028038 × 6371000     		do = 171.723538709053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39231559--0.39226765) × cos(-0.97372745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562220890929765 × 6371000     		du = 171.71673165557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97370050)-sin(-0.97372745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562243178028038-0.562220890929765)×R²
    abs(-0.39226765--0.39231559)×2.22870982727885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22870982727885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22870982727885e-05×40589641000000     		ar = 29484.081046419m²