Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 577 / 579
↖ ↑ ↗
← S 22.917923°
E 22.851562°		 ← 36.006 km → S 22.917923°
E 23.203125°		 →
↑
35.963 km
↓
↑
35.963 km
↓
S 23.241346°
E 22.851562°		 ← 35.920 km →
1 293.34 km²		 S 23.241346°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56396484375 y=0.56591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56396484375 × 210)
    floor (0.56396484375 × 1024)
    floor (577.5)     		tx = 577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56591796875 × 210)
    floor (0.56591796875 × 1024)
    floor (579.5)     		ty = 579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 577 / 579 ti = "10/577/579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/577/579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 577 ÷ 210
    577 ÷ 1024     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 579 ÷ 210
    579 ÷ 1024     		y = 0.5654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.411106851141602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.411106851141602))-π/2
    2×atan(0.6629160944748)-π/2
    2×0.585401556925823-π/2
    1.17080311385165-1.57079632675     		φ = -0.39999321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39999321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.917923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 577 KachelY 579 0.39883500 -0.39999321 22.851562 -22.917923
    Oben rechts KachelX + 1 578 KachelY 579 0.40497093 -0.39999321 23.203125 -22.917923
    Unten links KachelX 577 KachelY + 1 580 0.39883500 -0.40563801 22.851562 -23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 578 KachelY + 1 580 0.40497093 -0.40563801 23.203125 -23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39999321--0.40563801) × R
    0.00564480000000001 × 6371000     		dl = 35963.0208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39999321--0.40563801) × R
    0.00564480000000001 × 6371000     		dr = 35963.0208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.40497093) × cos(-0.39999321) × R
    0.00613593000000001 × 0.921063638132197 × 6371000     		do = 36006.2289801322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.40497093) × cos(-0.40563801) × R
    0.00613593000000001 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 35919.7255579114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39999321)-sin(-0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921063638132197-0.91885082221011)×R²
    abs(0.40497093-0.39883500)×0.00221281592208722×R²
    0.00613593000000001×0.00221281592208722×6371000²
    0.00613593000000001×0.00221281592208722×40589641000000     		ar = 1293340733.78324m²