Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 580 / 708
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
E 23.906250°		 ← 21.542 km → S 56.559482°
E 24.257813°		 →
↑
21.487 km
↓
↑
21.487 km
↓
S 56.752723°
E 23.906250°		 ← 21.432 km →
461.708 km²		 S 56.752723°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56689453125 y=0.69189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56689453125 × 210)
    floor (0.56689453125 × 1024)
    floor (580.5)     		tx = 580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69189453125 × 210)
    floor (0.69189453125 × 1024)
    floor (708.5)     		ty = 708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 580 / 708 ti = "10/580/708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/580/708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 580 ÷ 210
    580 ÷ 1024     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 708 ÷ 210
    708 ÷ 1024     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 580 KachelY 708 0.41724277 -0.98714919 23.906250 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 581 KachelY 708 0.42337870 -0.98714919 24.257813 -56.559482
    Unten links KachelX 580 KachelY + 1 709 0.41724277 -0.99052187 23.906250 -56.752723
    Unten rechts KachelX + 1 581 KachelY + 1 709 0.42337870 -0.99052187 24.257813 -56.752723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.99052187) × R
    0.00337268000000002 × 6371000     		dl = 21487.3442800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.99052187) × R
    0.00337268000000002 × 6371000     		dr = 21487.3442800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.98714919) × R
    0.00613593000000001 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 21542.4722360164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42337870) × cos(-0.99052187) × R
    0.00613593000000001 × 0.548253489006567 × 6371000     		du = 21432.3308912272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.99052187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.548253489006567)×R²
    abs(0.42337870-0.41724277)×0.00281748993476372×R²
    0.00613593000000001×0.00281748993476372×6371000²
    0.00613593000000001×0.00281748993476372×40589641000000     		ar = 461707632.739455m²