Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6140 / 6156
↖ ↑ ↗
← S 66.722541°
E 89.824219°		 ← 1 931.06 m → S 66.722541°
E 89.868164°		 →
↑
1 930.41 m
↓
↑
1 930.41 m
↓
S 66.739902°
E 89.824219°		 ← 1 929.70 m →
3 726 439 m²		 S 66.739902°
E 89.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74957275390625 y=0.75152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74957275390625 × 213)
    floor (0.74957275390625 × 8192)
    floor (6140.5)     		tx = 6140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75152587890625 × 213)
    floor (0.75152587890625 × 8192)
    floor (6156.5)     		ty = 6156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6140 / 6156 ti = "13/6140/6156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6140/6156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6140 ÷ 213
    6140 ÷ 8192     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6156 ÷ 213
    6156 ÷ 8192     		y = 0.75146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58000021147705))-π/2
    2×atan(0.205975054645882)-π/2
    2×0.203134147716771-π/2
    0.406268295433542-1.57079632675     		φ = -1.16452803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16452803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.722541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6140 KachelY 6156 1.56772837 -1.16452803 89.824219 -66.722541
    Oben rechts KachelX + 1 6141 KachelY 6156 1.56849536 -1.16452803 89.868164 -66.722541
    Unten links KachelX 6140 KachelY + 1 6157 1.56772837 -1.16483103 89.824219 -66.739902
    Unten rechts KachelX + 1 6141 KachelY + 1 6157 1.56849536 -1.16483103 89.868164 -66.739902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16452803--1.16483103) × R
    0.000302999999999942 × 6371000     		dl = 1930.41299999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16452803--1.16483103) × R
    0.000302999999999942 × 6371000     		dr = 1930.41299999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56849536) × cos(-1.16452803) × R
    0.000766990000000023 × 0.395184137778101 × 6371000     		do = 1931.06463756719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56849536) × cos(-1.16483103) × R
    0.000766990000000023 × 0.394905783258251 × 6371000     		du = 1929.70446007369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16452803)-sin(-1.16483103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395184137778101-0.394905783258251)×R²
    abs(1.56849536-1.56772837)×0.000278354519850754×R²
    0.000766990000000023×0.000278354519850754×6371000²
    0.000766990000000023×0.000278354519850754×40589641000000     		ar = 3726439.45654834m²