Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6146 / 6142
↖ ↑ ↗
← S 66.478208°
E 90.087891°		 ← 1 950.19 m → S 66.478208°
E 90.131836°		 →
↑
1 949.53 m
↓
↑
1 949.53 m
↓
S 66.495740°
E 90.087891°		 ← 1 948.82 m →
3 800 607 m²		 S 66.495740°
E 90.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75030517578125 y=0.74981689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75030517578125 × 213)
    floor (0.75030517578125 × 8192)
    floor (6146.5)     		tx = 6146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74981689453125 × 213)
    floor (0.74981689453125 × 8192)
    floor (6142.5)     		ty = 6142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6146 / 6142 ti = "13/6146/6142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6146/6142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6146 ÷ 213
    6146 ÷ 8192     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6142 ÷ 213
    6142 ÷ 8192     		y = 0.749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.49951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56926234596216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56926234596216))-π/2
    2×atan(0.208198704341934)-π/2
    2×0.205266356938198-π/2
    0.410532713876396-1.57079632675     		φ = -1.16026361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16026361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.478208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6146 KachelY 6142 1.57233031 -1.16026361 90.087891 -66.478208
    Oben rechts KachelX + 1 6147 KachelY 6142 1.57309730 -1.16026361 90.131836 -66.478208
    Unten links KachelX 6146 KachelY + 1 6143 1.57233031 -1.16056961 90.087891 -66.495740
    Unten rechts KachelX + 1 6147 KachelY + 1 6143 1.57309730 -1.16056961 90.131836 -66.495740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16026361--1.16056961) × R
    0.000306000000000139 × 6371000     		dl = 1949.52600000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16026361--1.16056961) × R
    0.000306000000000139 × 6371000     		dr = 1949.52600000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57309730) × cos(-1.16026361) × R
    0.000766990000000023 × 0.399097837066471 × 6371000     		do = 1950.18890287888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57309730) × cos(-1.16056961) × R
    0.000766990000000023 × 0.398817244431763 × 6371000     		du = 1948.81778885216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16026361)-sin(-1.16056961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399097837066471-0.398817244431763)×R²
    abs(1.57309730-1.57233031)×0.000280592634707588×R²
    0.000766990000000023×0.000280592634707588×6371000²
    0.000766990000000023×0.000280592634707588×40589641000000     		ar = 3800607.48951102m²