Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61472 / 69664
↖ ↑ ↗
← S 11.264612°
W 11.162109°		 ← 299.54 m → S 11.264612°
W 11.159363°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.267306°
W 11.162109°		 ← 299.54 m →
89 732 m²		 S 11.267306°
W 11.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468997955322266 y=0.531497955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468997955322266 × 217)
    floor (0.468997955322266 × 131072)
    floor (61472.5)     		tx = 61472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531497955322266 × 217)
    floor (0.531497955322266 × 131072)
    floor (69664.5)     		ty = 69664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61472 / 69664 ti = "17/61472/69664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61472/69664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61472 ÷ 217
    61472 ÷ 131072     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69664 ÷ 217
    69664 ÷ 131072     		y = 0.531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197883521631592))-π/2
    2×atan(0.820465414045097)-π/2
    2×0.687095877365939-π/2
    1.37419175473188-1.57079632675     		φ = -0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61472 KachelY 69664 -0.19481556 -0.19660457 -11.162109 -11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 61473 KachelY 69664 -0.19476762 -0.19660457 -11.159363 -11.264612
    Unten links KachelX 61472 KachelY + 1 69665 -0.19481556 -0.19665159 -11.162109 -11.267306
    Unten rechts KachelX + 1 61473 KachelY + 1 69665 -0.19476762 -0.19665159 -11.159363 -11.267306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19660457--0.19665159) × R
    4.7019999999981e-05 × 6371000     		dl = 299.564419999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19660457--0.19665159) × R
    4.7019999999981e-05 × 6371000     		dr = 299.564419999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19476762) × cos(-0.19660457) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 299.541864240349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19476762) × cos(-0.19665159) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980726308797734 × 6371000     		du = 299.539058601994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19660457)-sin(-0.19665159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.980726308797734)×R²
    abs(-0.19476762--0.19481556)×9.18599184174251e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.18599184174251e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.18599184174251e-06×40589641000000     		ar = 89731.6646086692m²