Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6148 / 6148
↖ ↑ ↗
← S 66.583217°
E 90.175781°		 ← 1 941.97 m → S 66.583217°
E 90.219727°		 →
↑
1 941.31 m
↓
↑
1 941.31 m
↓
S 66.600676°
E 90.175781°		 ← 1 940.61 m →
3 768 642 m²		 S 66.600676°
E 90.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75054931640625 y=0.75054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75054931640625 × 213)
    floor (0.75054931640625 × 8192)
    floor (6148.5)     		tx = 6148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75054931640625 × 213)
    floor (0.75054931640625 × 8192)
    floor (6148.5)     		ty = 6148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6148 / 6148 ti = "13/6148/6148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6148/6148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6148 ÷ 213
    6148 ÷ 8192     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6148 ÷ 213
    6148 ÷ 8192     		y = 0.75048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57386428832568))-π/2
    2×atan(0.207242787129374)-π/2
    2×0.20434997955125-π/2
    0.408699959102499-1.57079632675     		φ = -1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6148 KachelY 6148 1.57386429 -1.16209637 90.175781 -66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 6149 KachelY 6148 1.57463128 -1.16209637 90.219727 -66.583217
    Unten links KachelX 6148 KachelY + 1 6149 1.57386429 -1.16240108 90.175781 -66.600676
    Unten rechts KachelX + 1 6149 KachelY + 1 6149 1.57463128 -1.16240108 90.219727 -66.600676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16209637--1.16240108) × R
    0.000304709999999986 × 6371000     		dl = 1941.30740999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16209637--1.16240108) × R
    0.000304709999999986 × 6371000     		dr = 1941.30740999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57463128) × cos(-1.16209637) × R
    0.000766990000000023 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 1941.97401237206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57463128) × cos(-1.16240108) × R
    0.000766990000000023 × 0.397137062780417 × 6371000     		du = 1940.60759248688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16209637)-sin(-1.16240108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.397137062780417)×R²
    abs(1.57463128-1.57386429)×0.000279631998672758×R²
    0.000766990000000023×0.000279631998672758×6371000²
    0.000766990000000023×0.000279631998672758×40589641000000     		ar = 3768642.24887972m²