Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6164 / 6164
↖ ↑ ↗
← S 66.861082°
E 90.878906°		 ← 1 920.23 m → S 66.861082°
E 90.922852°		 →
↑
1 919.52 m
↓
↑
1 919.52 m
↓
S 66.878345°
E 90.878906°		 ← 1 918.88 m →
3 684 618 m²		 S 66.878345°
E 90.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75250244140625 y=0.75250244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75250244140625 × 213)
    floor (0.75250244140625 × 8192)
    floor (6164.5)     		tx = 6164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75250244140625 × 213)
    floor (0.75250244140625 × 8192)
    floor (6164.5)     		ty = 6164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6164 / 6164 ti = "13/6164/6164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6164/6164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6164 ÷ 213
    6164 ÷ 8192     		x = 0.75244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6164 ÷ 213
    6164 ÷ 8192     		y = 0.75244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58613613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58613613} λ = 1.58613613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58613613462842))-π/2
    2×atan(0.20471507705544)-π/2
    2×0.201925149595803-π/2
    0.403850299191607-1.57079632675     		φ = -1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58613613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6164 KachelY 6164 1.58613613 -1.16694603 90.878906 -66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 6165 KachelY 6164 1.58690313 -1.16694603 90.922852 -66.861082
    Unten links KachelX 6164 KachelY + 1 6165 1.58613613 -1.16724732 90.878906 -66.878345
    Unten rechts KachelX + 1 6165 KachelY + 1 6165 1.58690313 -1.16724732 90.922852 -66.878345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16694603--1.16724732) × R
    0.000301289999999899 × 6371000     		dl = 1919.51858999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16694603--1.16724732) × R
    0.000301289999999899 × 6371000     		dr = 1919.51858999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58613613-1.58690313) × cos(-1.16694603) × R
    0.000766999999999962 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 1920.2302600368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58613613-1.58690313) × cos(-1.16724732) × R
    0.000766999999999962 × 0.39268473472587 × 6371000     		du = 1918.87633926775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16694603)-sin(-1.16724732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.39268473472587)×R²
    abs(1.58690313-1.58613613)×0.000277070495453668×R²
    0.000766999999999962×0.000277070495453668×6371000²
    0.000766999999999962×0.000277070495453668×40589641000000     		ar = 3684618.27105196m²