Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6175 / 6177
↖ ↑ ↗
← S 67.084550°
E 91.362305°		 ← 1 902.67 m → S 67.084550°
E 91.406250°		 →
↑
1 902 m
↓
↑
1 902 m
↓
S 67.101655°
E 91.362305°		 ← 1 901.32 m →
3 617 588 m²		 S 67.101655°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75384521484375 y=0.75408935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75384521484375 × 213)
    floor (0.75384521484375 × 8192)
    floor (6175.5)     		tx = 6175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75408935546875 × 213)
    floor (0.75408935546875 × 8192)
    floor (6177.5)     		ty = 6177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6175 / 6177 ti = "13/6175/6177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6175/6177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6175 ÷ 213
    6175 ÷ 8192     		x = 0.7537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6177 ÷ 213
    6177 ÷ 8192     		y = 0.7540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7537841796875 × 2 - 1) × π
    0.507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59457303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59610700974939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59457303} λ = 1.59457303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59610700974939))-π/2
    2×atan(0.202684031066609)-π/2
    2×0.199975021813873-π/2
    0.399950043627747-1.57079632675     		φ = -1.17084628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59457303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17084628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.084550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6175 KachelY 6177 1.59457303 -1.17084628 91.362305 -67.084550
    Oben rechts KachelX + 1 6176 KachelY 6177 1.59534002 -1.17084628 91.406250 -67.084550
    Unten links KachelX 6175 KachelY + 1 6178 1.59457303 -1.17114482 91.362305 -67.101655
    Unten rechts KachelX + 1 6176 KachelY + 1 6178 1.59534002 -1.17114482 91.406250 -67.101655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17084628--1.17114482) × R
    0.00029854000000018 × 6371000     		dl = 1901.99834000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17084628--1.17114482) × R
    0.00029854000000018 × 6371000     		dr = 1901.99834000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59457303-1.59534002) × cos(-1.17084628) × R
    0.000766990000000023 × 0.389372331874061 × 6371000     		do = 1902.66528701431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59457303-1.59534002) × cos(-1.17114482) × R
    0.000766990000000023 × 0.389097335170307 × 6371000     		du = 1901.32151746664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17084628)-sin(-1.17114482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389372331874061-0.389097335170307)×R²
    abs(1.59534002-1.59457303)×0.000274996703754138×R²
    0.000766990000000023×0.000274996703754138×6371000²
    0.000766990000000023×0.000274996703754138×40589641000000     		ar = 3617588.32062343m²