Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61952 / 78336
↖ ↑ ↗
← S 33.137551°
W  9.843750°		 ← 255.75 m → S 33.137551°
W  9.841003°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
S 33.139851°
W  9.843750°		 ← 255.74 m →
65 403 m²		 S 33.139851°
W  9.841003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472660064697266 y=0.597660064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472660064697266 × 217)
    floor (0.472660064697266 × 131072)
    floor (61952.5)     		tx = 61952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597660064697266 × 217)
    floor (0.597660064697266 × 131072)
    floor (78336.5)     		ty = 78336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61952 / 78336 ti = "17/61952/78336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61952/78336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61952 ÷ 217
    61952 ÷ 131072     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78336 ÷ 217
    78336 ÷ 131072     		y = 0.59765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59765625 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613592315136719))-π/2
    2×atan(0.541402483226244)-π/2
    2×0.496218476227484-π/2
    0.992436952454969-1.57079632675     		φ = -0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61952 KachelY 78336 -0.17180585 -0.57835937 -9.843750 -33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 61953 KachelY 78336 -0.17175791 -0.57835937 -9.841003 -33.137551
    Unten links KachelX 61952 KachelY + 1 78337 -0.17180585 -0.57839951 -9.843750 -33.139851
    Unten rechts KachelX + 1 61953 KachelY + 1 78337 -0.17175791 -0.57839951 -9.841003 -33.139851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57835937--0.57839951) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57835937--0.57839951) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17175791) × cos(-0.57835937) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 255.751489540529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17175791) × cos(-0.57839951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.837338685043471 × 6371000     		du = 255.74478751001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57835937)-sin(-0.57839951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837338685043471)×R²
    abs(-0.17175791--0.17180585)×2.19432406680653e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19432406680653e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19432406680653e-05×40589641000000     		ar = 65402.9676251234m²