Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6210 / 6210
↖ ↑ ↗
← S 67.642677°
E 92.900390°		 ← 1 858.73 m → S 67.642677°
E 92.944336°		 →
↑
1 858.04 m
↓
↑
1 858.04 m
↓
S 67.659386°
E 92.900390°		 ← 1 857.41 m →
3 452 372 m²		 S 67.659386°
E 92.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75811767578125 y=0.75811767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75811767578125 × 213)
    floor (0.75811767578125 × 8192)
    floor (6210.5)     		tx = 6210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75811767578125 × 213)
    floor (0.75811767578125 × 8192)
    floor (6210.5)     		ty = 6210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6210 / 6210 ti = "13/6210/6210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6210/6210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6210 ÷ 213
    6210 ÷ 8192     		x = 0.758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6210 ÷ 213
    6210 ÷ 8192     		y = 0.758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62141769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.51611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62141769274878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62141769} λ = 1.62141769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62141769274878))-π/2
    2×atan(0.197618338312604)-π/2
    2×0.195104455188927-π/2
    0.390208910377855-1.57079632675     		φ = -1.18058742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62141769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.900390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18058742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.642677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6210 KachelY 6210 1.62141769 -1.18058742 92.900390 -67.642677
    Oben rechts KachelX + 1 6211 KachelY 6210 1.62218468 -1.18058742 92.944336 -67.642677
    Unten links KachelX 6210 KachelY + 1 6211 1.62141769 -1.18087906 92.900390 -67.659386
    Unten rechts KachelX + 1 6211 KachelY + 1 6211 1.62218468 -1.18087906 92.944336 -67.659386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18058742--1.18087906) × R
    0.000291640000000148 × 6371000     		dl = 1858.03844000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18058742--1.18087906) × R
    0.000291640000000148 × 6371000     		dr = 1858.03844000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62141769-1.62218468) × cos(-1.18058742) × R
    0.000766990000000023 × 0.380381626612921 × 6371000     		do = 1858.73226608338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62141769-1.62218468) × cos(-1.18087906) × R
    0.000766990000000023 × 0.380111893131144 × 6371000     		du = 1857.41421523459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18058742)-sin(-1.18087906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380381626612921-0.380111893131144)×R²
    abs(1.62218468-1.62141769)×0.000269733481777168×R²
    0.000766990000000023×0.000269733481777168×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269733481777168×40589641000000     		ar = 3452371.52995248m²