Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6280 / 6280
↖ ↑ ↗
← S 68.784144°
E 95.976562°		 ← 1 768.34 m → S 68.784144°
E 96.020508°		 →
↑
1 767.70 m
↓
↑
1 767.70 m
↓
S 68.800041°
E 95.976562°		 ← 1 767.07 m →
3 124 768 m²		 S 68.800041°
E 96.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76666259765625 y=0.76666259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76666259765625 × 213)
    floor (0.76666259765625 × 8192)
    floor (6280.5)     		tx = 6280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76666259765625 × 213)
    floor (0.76666259765625 × 8192)
    floor (6280.5)     		ty = 6280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6280 / 6280 ti = "13/6280/6280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6280/6280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6280 ÷ 213
    6280 ÷ 8192     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6280 ÷ 213
    6280 ÷ 8192     		y = 0.7666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    -0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67510702032324))-π/2
    2×atan(0.187288134772658)-π/2
    2×0.1851432723394-π/2
    0.370286544678801-1.57079632675     		φ = -1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6280 KachelY 6280 1.67510702 -1.20050978 95.976562 -68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 6281 KachelY 6280 1.67587401 -1.20050978 96.020508 -68.784144
    Unten links KachelX 6280 KachelY + 1 6281 1.67510702 -1.20078724 95.976562 -68.800041
    Unten rechts KachelX + 1 6281 KachelY + 1 6281 1.67587401 -1.20078724 96.020508 -68.800041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20050978--1.20078724) × R
    0.000277459999999952 × 6371000     		dl = 1767.69765999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20050978--1.20078724) × R
    0.000277459999999952 × 6371000     		dr = 1767.69765999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67587401) × cos(-1.20050978) × R
    0.000766990000000023 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 1768.33676242622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67587401) × cos(-1.20078724) × R
    0.000766990000000023 × 0.361623903817399 × 6371000     		du = 1767.07277950738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20050978)-sin(-1.20078724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.361623903817399)×R²
    abs(1.67587401-1.67510702)×0.000258668710632681×R²
    0.000766990000000023×0.000258668710632681×6371000²
    0.000766990000000023×0.000258668710632681×40589641000000     		ar = 3124767.60725772m²