Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6400 / 14592
↖ ↑ ↗
← S 80.178713°
W 39.375000°		 ← 416.75 m → S 80.178713°
W 39.353027°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
S 80.182461°
W 39.375000°		 ← 416.60 m →
173 613 m²		 S 80.182461°
W 39.353027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390655517578125 y=0.890655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390655517578125 × 214)
    floor (0.390655517578125 × 16384)
    floor (6400.5)     		tx = 6400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890655517578125 × 214)
    floor (0.890655517578125 × 16384)
    floor (14592.5)     		ty = 14592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6400 / 14592 ti = "14/6400/14592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6400/14592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6400 ÷ 214
    6400 ÷ 16384     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14592 ÷ 214
    14592 ÷ 16384     		y = 0.890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890625 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45436926054687))-π/2
    2×atan(0.0859173698292689)-π/2
    2×0.085706893142233-π/2
    0.171413786284466-1.57079632675     		φ = -1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6400 KachelY 14592 -0.68722339 -1.39938254 -39.375000 -80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 6401 KachelY 14592 -0.68683990 -1.39938254 -39.353027 -80.178713
    Unten links KachelX 6400 KachelY + 1 14593 -0.68722339 -1.39944794 -39.375000 -80.182461
    Unten rechts KachelX + 1 6401 KachelY + 1 14593 -0.68683990 -1.39944794 -39.353027 -80.182461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39938254--1.39944794) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39938254--1.39944794) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68683990) × cos(-1.39938254) × R
    0.000383490000000042 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 416.752795142112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68683990) × cos(-1.39944794) × R
    0.000383490000000042 × 0.170511144350081 × 6371000     		du = 416.595349735989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39938254)-sin(-1.39944794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.170511144350081)×R²
    abs(-0.68683990--0.68722339)×6.44419012061359e-05×R²
    0.000383490000000042×6.44419012061359e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.44419012061359e-05×40589641000000     		ar = 173612.83577727m²