Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6404 / 6404
↖ ↑ ↗
← S 70.670881°
E101.425781°		 ← 1 617.40 m → S 70.670881°
E101.469727°		 →
↑
1 616.83 m
↓
↑
1 616.83 m
↓
S 70.685422°
E101.425781°		 ← 1 616.23 m →
2 614 119 m²		 S 70.685422°
E101.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78179931640625 y=0.78179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78179931640625 × 213)
    floor (0.78179931640625 × 8192)
    floor (6404.5)     		tx = 6404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78179931640625 × 213)
    floor (0.78179931640625 × 8192)
    floor (6404.5)     		ty = 6404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6404 / 6404 ti = "13/6404/6404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6404/6404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6404 ÷ 213
    6404 ÷ 8192     		x = 0.78173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6404 ÷ 213
    6404 ÷ 8192     		y = 0.78173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77021382916943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77021383} λ = 1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77021382916943))-π/2
    2×atan(0.170296570557664)-π/2
    2×0.16867838342603-π/2
    0.337356766852061-1.57079632675     		φ = -1.23343956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23343956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.670881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6404 KachelY 6404 1.77021383 -1.23343956 101.425781 -70.670881
    Oben rechts KachelX + 1 6405 KachelY 6404 1.77098082 -1.23343956 101.469727 -70.670881
    Unten links KachelX 6404 KachelY + 1 6405 1.77021383 -1.23369334 101.425781 -70.685422
    Unten rechts KachelX + 1 6405 KachelY + 1 6405 1.77098082 -1.23369334 101.469727 -70.685422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23343956--1.23369334) × R
    0.000253779999999981 × 6371000     		dl = 1616.83237999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23343956--1.23369334) × R
    0.000253779999999981 × 6371000     		dr = 1616.83237999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77021383-1.77098082) × cos(-1.23343956) × R
    0.000766989999999801 × 0.330994009622915 × 6371000     		do = 1617.40000705215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77021383-1.77098082) × cos(-1.23369334) × R
    0.000766989999999801 × 0.330754523820752 × 6371000     		du = 1616.22976128683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23343956)-sin(-1.23369334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330994009622915-0.330754523820752)×R²
    abs(1.77098082-1.77021383)×0.000239485802163208×R²
    0.000766989999999801×0.000239485802163208×6371000²
    0.000766989999999801×0.000239485802163208×40589641000000     		ar = 2614118.67121942m²